有界序列与无穷小序列
定义：设 $\{x_n\}$ 是⼀个实数序列。 如果对任意实数：$\epsilon ＞ 0$，都存在⾃然数 $N$，使得只要 $n ＞ N$ ， 就有 $|x_n| < \epsilon$，那么我们就称 $\{x_n\}$ 为⽆穷⼩序列。
引理：设 ${\alpha_n}$ 和 ${\beta_n}$ 是实数序列，并设存在 $N_0 \in \mathbf{N}$，使得 $|\alpha_n| \leq \beta_n, \forall n > N_0$。如果 ${\beta_n}$ 是无穷小序列，那么 ${\alpha_n}$ 也是无穷小序列。
引理：如果 ${\alpha_n}$ 是无穷小序列，那么它也是有界序列。
定理 1：
- 两个有界序列的和与乘积都是有界序列
- 两个无穷小序列的和也是无穷小序列
- 无穷小序列和有界序列的乘积是无穷小序列
- ${\alpha_n}$ 是无穷小序列 $\iff$ ${|\alpha_n|}$ 是无穷小序列
推论：
- 两个无穷小序列的乘积也是无穷小序列
- 实数与无穷小序列的乘积也是无穷小序列
- 有限个无穷小序列之和仍是无穷小序列，有限个无穷小序列的乘积也是无穷小序列
收敛序列
定义：设 $\{x_n\}$ 是实数序列，$a$ 是实数，如果对任意实数 $\epsilon > 0$ 都存在自然数 $N$，使得只要 $n > N$，就有 $|x_n-a| < \epsilon$，那么我们说序列 $\{x_n\}$ 收敛，以 $a$ 为极限，记为 $\lim x_n=a$ 或者 $x_n \to a$
定理 1：如果序列 $\{x_n\}$ 有极限，那么它的极限是唯一的。
定理 2（夹挤原理）：设 $\{x_n\}, \{y_n\}$ 和 $\{z_n\}$ 都是实数序列，满足条件 $x_n \leq y_n \leq z_n, \forall n \in \mathbf{N}$。如果 $\lim x_n = \lim z_n = a$，那么 $\{y_n\}$ 也是收敛序列，并且 $\lim y_n = a$。
定理 3：设 $\{x_n\}$ 是实数序列，$a$ 是实数，则以下三陈述等价：
- 序列 $\{x_n\}$ 以 $a$ 为极限&
- $\{x_n - a\}$ 是无穷小序列
- 存在无穷小序列 $\{a_n\}$ 使得 $x_n = a + a_n, n=1,2,\cdots$
定理 5：
- 设 $\lim x_n=a$，则 $\lim |x_n| = |a|$
- 设 $\lim x_n=a, \lim y_n=b$，则 $\lim(x_n \pm y_n) = a \pm b$
- 设 $\lim x_n=a, \lim y_n=b$，则 $\lim(x_ny_n) = ab$
- 设 $x_n \neq 0 ~(n=1,2,\cdots), \lim x_n = a \neq 0$，则 $\lim \frac{1}{x_n} = \frac{1}{a}$
推论：
- 设 $\lim x_n = a, c \in \mathbf{R}$，则 $\lim (cx_n) = ca$
- 设 $x_n \neq 0 ~(n=1,2,\cdots), \lim x_n = a \neq 0，\lim y_n = b$，则 $\lim \frac{y_n}{x_n} = \frac{b}{a}$
定理 6：如果 $\lim x_n ＜ \lim y_n$， 那么存在 $N \in \mathbf{N}$， 使得 $n ＞ N$ 有 $x_n < y_n$。
定理 7：如果 $\{x_n\}, \{y_n\}$ 都是收敛序列，并且满足条件 $x_n \leq y_n, \forall n > N_0$，那么 $\lim x_n \leq \lim y_n$。
收敛原理
定理 1：递增序列 $\{x_n\}$ 收敛的充分必要条件是它有上界。
推论：递减序列 $\{y_n\}$ 收敛的充分必要条件是它有下界。
注：因一个序列的收敛性和极限值都只与序列的尾部有关，因此定理 1 和推论中的单调条件可以削弱为“从某一项之后单调“。
证明：
必要性：收敛序列是有界的。
充分性：设序列 $\{x_n\}$ 有上界，则存在上确界 $a=\sup\{x_n\}$。对任意 $\epsilon > 0$，显然 $a - \epsilon < a$，存在 $x_N$ 使得 $a-\epsilon < x_N \leq a$。当 $n> N$ 时，有 $a-\epsilon < x_N \leq x_n \leq a$。这就证明了 $\lim x_n = a = \sup\{x_n\}$。
定理 2（闭区间套原理）：如果实数序列 $\{a_n\}$ 和 $\{b_n\}$ 满足条件：（1）$a_{n-1} \leq a_n \leq b_n \leq b_{n-1}, \forall n > 1$ （2）$\lim (b_n - a_n) = 0$，那么（i）序列 $\{a_n\}$ 和 $\{b_n\}$ 收敛于相同的极限值：$\lim a_n = \lim b_n = c$，（ii）$c$ 是满足以下条件的唯一实数：$a_n \leq c \leq b_n, \forall n \in \mathbf{N}$
证明：
（i）由条件（1）可得：$a_1 \leq a_{n-1} \leq a_n \leq b_n \leq b_{n-1} \leq b_1$，序列 $\{a_n\}$ 递增且有上界 $b_1$，序列 $\{b_n\}$ 递减且有下界 $a_1$，因此 $\{a_n\}$ 和 $\{b_n\}$ 都是收敛序列。由条件（2）可得：$\lim a_n - \lim b_n = \lim (b_n - a_n) = 0$，这证明了序列 $\{a_n\}$ 和 $\{b_n\}$ 的极限相等：$\lim a_n = \lim b_n = c$。
（ii）因为 $c = \sup\{a_n\} = \inf \{b_n\}$，所以显然有 $a_n\leq c_n \leq b_n, \forall n \in \mathbf{N}$。如果实数 $c’$ 也满足条件 $a_n \leq c’ \leq b_n, \forall n \in \mathbf{N}$。那么上式中让 $n\to +\infty$ 取极限就得到 $c=\lim a_n \leq c’ \leq \lim b_n = c$（夹挤原理）。这证明了实数 $c$ 是唯一的。
注：闭区间套原理的各条件对保证结论成立非常重要。 （1）如果一列闭区间不是一个套在另一个之中，那么这列闭区间就可能不包含公共点。 （2）如果一列闭区间一个套在另一个之中，但这列闭区间的长度不收缩于0，那么属于这列闭区间的公共点就不止一个。 （3）如果把闭区间套换成了“开区间套”（仍然要求长度收缩于0），那么仍存在 $c=\lim a_n = \lim b_n$，但 $c$ 可以不属于各开区间 $(a_n, b_n)$。
定理 3：设序列 $\{x_n\}$ 收敛于 $a$，则它的任何⼦序列 $\{x_{n_k}\}$ 也都收敛于同⼀极限 $a$。
定理 4（波尔查诺-维尔斯特拉斯（Bolzano-Weierstrass）定理）：任意有界序列 $\{x_n\}$ 都具有收敛的子序列。
证明：序列 $\{x_n\}$ 有界，因而可设 $a \leq x_n \leq b, \forall n \in \mathbf{N}$。用中点 $\frac{a+b}{2}$ 把闭区间 $[a, b]$ 分为两个闭子区间：$[a, \frac{a+b}{2}]$ 和 $[\frac{a+b}{2}, b]$。这两个闭子区间至少有一个含有序列 $\{x_n\}$ 的无穷多项，我们把这一闭子区间记为 $[a_1, b_1]$，再将其对分成两个闭子区间 $[a_1, \frac{a_1+b_1}{2}]$ 和 $[\frac{a_1+b_1}{2}, b_1]$。在这两个闭子区间中，又至少有一个闭子区间含有序列 $\{x_n\}$ 的无穷多项，记为 $[a_2, b_2]$。用上述方式，我们取得一串闭区间：
\[[a_1, b_1] \supset [a_2, b_2] \supset \cdots \supset [a_k, b_k] \supset \cdots\]其中第 $k$ 个闭区间 $[a_k, b_k]$ 的长度为 $b_k - a_k=\frac{b-1}{2^k}$。根据闭区间套原理，可以断定存在一个实数 $c$ 满足 $c \in [a_k, b_k], \forall k \in \mathbf{N}$。
接下来来证明序列 $\{x_n\}$ 有⼀个⼦序列收敛于 $c$。⾸先，因为 $\{x_n\}$ 有⽆穷多项在 $[a_1, b_1]$ 之中， 我们可以选取其中某⼀项，把它记为 $x_{n_1}$。然后， 因为 $\{x_n\}$ 有⽆穷多项在 $[a_2, b_2]$ 之中，可以选取其中在 $\{x_n\}$ 之后的某⼀项，把它记为 $\{x_{n_2}\}$ 。 继续这样下去得到 $\{x_n\}$ 的⼀个⼦序列 $\{x_{n_k}\}$，满⾜ $x_{n_k} \in [a_k, b_k], \forall k \in N$。因为 $|x_{n_k} - c| \leq b_k - a_k = \frac{b-a}{2^k}, \forall n \in \mathbf{N}$，所以 $\lim x_{n_k} = c$。
定义：如果序列 $\{x_n\}$ 满足条件：对任意 $\epsilon > 0$，存在 $N \in \mathbf{N}$，使得当 $m, n > N$ 时，就有 $|x_m - x_n| < \epsilon$，那么就称这序列为基本序列（或者珂西序列）。
引理：基本序列 $\{x_n\}$ 是有界的。
证明： 对于 $\epsilon > 1$，存在 $N \in \mathbf{N}$，使得当 $m, n > N$ 时，就有 $|x_m - x_n| < 1$。于是，对于 $n > N$，我们有 $|x_n| \leq |x_n - x_{N+1}| + |x_{N+1}| < 1 + |x_{N+1}|$。
记 $K=\max\{|x_1|, |x_2|, \cdots, |x_N|, 1+|x_{N+1}|\}$，则有
\[|x_n| \leq K, \forall n \in \mathbf{N}\]定理 5（收敛原理）：序列 $\{x_n\}$ 收敛的必要充分条件是：对任意 $\epsilon > 0$，存在 $N \in \mathbf{N}$，使得当 $m, n > N$ 时，就有 $|x_m - x_n| < \epsilon$。即 序列 $\{x_n\}$ 收敛 $\iff$ 序列 $\{x_n\}$ 是基本序列。
证明：
必要性：如果序列 $\{x_n\}$ 收敛于 $a$， 那么这序列中序号充分⼤的两项 $x_m$ 和 $x_n$ 都接近于 $a$，对任意 $\epsilon ＞ 0$， 存在 $N \in \mathbf{N}$， 使得当 $m, n ＞ N$ 时，有
\[|x_m - a| < \epsilon / 2, |x_n - a| < \epsilon / 2\]此时有
\[\begin{aligned} |x_m - x_n| &= |(x_m - a) - (x_n - a)| \\ &\leq |x_m-a| + |x_n + a| \\ &< \epsilon / 2 + \epsilon / 2 = \epsilon \end{aligned}\]充分性：因为基本序列是有界的，引用波尔查诺-维尔斯特拉斯定理，可以断定存在序列 $\{x_n\}$ 的收敛子序列 $\{x_{n_k}\}$，设 $x_{n_k} \to a~(k \to +\infty)$。
由基本序列定义可得，对任意 $\epsilon > 0$，存在 $N \in \mathbf{N}$，使得当 $m, n > N$ 时，就有 $|x_m - x_n| < \epsilon/2$。又，存在 $N_1 \in \mathbf{N}$，使得 $k > N_1$ 时有 $|a - x_{n_k}| < \epsilon / 2$。
取 $k > \max\{N, N_1\}$，对任意 $n > N$ 有 $|a-x_n| \leq |a - x_{n_k}| + |x_{n_k} - x_n| < \epsilon / 2 + \epsilon = \epsilon$。这就证明了 $\lim x_n = a$。
无穷大
定义：
- 设 $\{x_n\}$ 是实数序列，如果对任意正实数 $E$，存在自然数 $N$，使得当 $n > N$ 时，就有 $x_n > E$，那么我们就说序列 $\{x_n\}$ 发散于 $+\infty$，记为 $\lim x_n = + \infty$
- 设 $\{y_n\}$ 是实数序列，如果对任意正实数 $E$，存在自然数 $N$，使得当 $n > N$ 时，就有 $y_n < -E$，那么我们就说序列 $\{y_n\}$ 发散于 $-\infty$，记为 $\lim y_n = - \infty$
- 设 $\{z_n\}$ 是实数序列，如果序列 $\{|z_n|\}$ 发散于 $+\infty$，即 $\lim |z_n| = + \infty$，那么我们就称 $\{z_n\}$ 为无穷大序列，记为 $\lim z_n = \infty$
定理 1：单调序列必具有（有穷或无穷的）极限。
定理 3：如果 $\lim x_n = + \infty$（或 $-\infty$，或 $\infty$），那么对于 $\{x_n\}$ 的任意子序列 $\{x_{n_k}\}$，也有 $\lim x_{n_k} = + \infty$（或 $-\infty$，或 $\infty$）。
定理 5：实数序列最多只有一个极限。
