有界序列与无穷小序列
定义：设 $\{x_n\}$ 是⼀个实数序列。 如果对任意实数：$\epsilon ＞ 0$，都存在⾃然数 $N$，使得只要 $n ＞ N$ ， 就有 $|x_n| < \epsilon$，那么我们就称 $\{x_n\}$ 为⽆穷⼩序列。
引理：设 ${\alpha_n}$ 和 ${\beta_n}$ 是实数序列，并设存在 $N_0 \in \mathbf{N}$，使得 $|\alpha_n| \leq \beta_n, \forall n > N_0$。如果 ${\beta_n}$ 是无穷小序列，那么 ${\alpha_n}$ 也是无穷小序列。
引理：如果 ${\alpha_n}$ 是无穷小序列，那么它也是有界序列。
定理 1：
- 两个有界序列的和与乘积都是有界序列
- 两个无穷小序列的和也是无穷小序列
- 无穷小序列和有界序列的乘积是无穷小序列
- ${\alpha_n}$ 是无穷小序列 $\iff$ ${|\alpha_n|}$ 是无穷小序列
推论：
- 两个无穷小序列的乘积也是无穷小序列
- 实数与无穷小序列的乘积也是无穷小序列
- 有限个无穷小序列之和仍是无穷小序列，有限个无穷小序列的乘积也是无穷小序列
收敛序列
定义：设 $\{x_n\}$ 是实数序列，$a$ 是实数，如果对任意实数 $\epsilon > 0$ 都存在自然数 $N$，使得只要 $n > N$，就有 $|x_n-a| < \epsilon$，那么我们说序列 $\{x_n\}$ 收敛，以 $a$ 为极限，记为 $\lim x_n=a$ 或者 $x_n \to a$
定理 1：如果序列 $\{x_n\}$ 有极限，那么它的极限是唯一的。
证明：反证法。假设序列 $\{x_n\}$ 有极限 $a$ 和 $b$，$a < b$。我们取 $\epsilon \in \mathbf{R}$ 满足 $0 < \epsilon < \frac{b-a}{2}$。于是，存在 $N_1 \in \mathbf{N}$，使得 $n > N_1$ 时，$a - \epsilon < x_n < a + \epsilon$。又存在 $N_2 \in \mathbf{N}$，使得 $n > N_2$ 时，$b - \epsilon < x_n < b + \epsilon$。置 $N = \max\{N_1, N_2\}$，则当 $n > N$ 时，就有 $b - \epsilon < x_n < a + \epsilon$。这与 $0 < \epsilon < \frac{b - a}{2}$ 矛盾。
定理 2（夹挤原理）：设 $\{x_n\}, \{y_n\}$ 和 $\{z_n\}$ 都是实数序列，满足条件 $x_n \leq y_n \leq z_n, \forall n \in \mathbf{N}$。如果 $\lim x_n = \lim z_n = a$，那么 $\{y_n\}$ 也是收敛序列，并且 $\lim y_n = a$。
定理 3：设 $\{x_n\}$ 是实数序列，$a$ 是实数，则以下三陈述等价：
- 序列 $\{x_n\}$ 以 $a$ 为极限
- $\{x_n - a\}$ 是无穷小序列
- 存在无穷小序列 $\{a_n\}$ 使得 $x_n = a + a_n, n=1,2,\cdots$
定理 5：
- 设 $\lim x_n=a$，则 $\lim |x_n| = |a|$
- 设 $\lim x_n=a, \lim y_n=b$，则 $\lim(x_n \pm y_n) = a \pm b$
- 设 $\lim x_n=a, \lim y_n=b$，则 $\lim(x_ny_n) = ab$
- 设 $x_n \neq 0 ~(n=1,2,\cdots), \lim x_n = a \neq 0$，则 $\lim \frac{1}{x_n} = \frac{1}{a}$
推论：
- 设 $\lim x_n = a, c \in \mathbf{R}$，则 $\lim (cx_n) = ca$
- 设 $x_n \neq 0 ~(n=1,2,\cdots), \lim x_n = a \neq 0，\lim y_n = b$，则 $\lim \frac{y_n}{x_n} = \frac{b}{a}$
定理 6：如果 $\lim x_n ＜ \lim y_n$， 那么存在 $N \in \mathbf{N}$， 使得 $n ＞ N$ 有 $x_n < y_n$。
定理 7：如果 $\{x_n\}, \{y_n\}$ 都是收敛序列，并且满足条件 $x_n \leq y_n, \forall n > N_0$，那么 $\lim x_n \leq \lim y_n$。
收敛原理
定理 1：递增序列 $\{x_n\}$ 收敛的充分必要条件是它有上界。
推论：递减序列 $\{y_n\}$ 收敛的充分必要条件是它有下界。
注：因一个序列的收敛性和极限值都只与序列的尾部有关，因此定理 1 和推论中的单调条件可以削弱为“从某一项之后单调“。
证明：
必要性：收敛序列是有界的。
充分性：设序列 $\{x_n\}$ 有上界，则存在上确界 $a=\sup\{x_n\}$。对任意 $\epsilon > 0$，显然 $a - \epsilon < a$，存在 $x_N$ 使得 $a-\epsilon < x_N \leq a$。当 $n> N$ 时，有 $a-\epsilon < x_N \leq x_n \leq a$。这就证明了 $\lim x_n = a = \sup\{x_n\}$。
定理 2（闭区间套原理）：如果实数序列 $\{a_n\}$ 和 $\{b_n\}$ 满足条件：（1）$a_{n-1} \leq a_n \leq b_n \leq b_{n-1}, \forall n > 1$ （2）$\lim (b_n - a_n) = 0$，那么（i）序列 $\{a_n\}$ 和 $\{b_n\}$ 收敛于相同的极限值：$\lim a_n = \lim b_n = c$，（ii）$c$ 是满足以下条件的唯一实数：$a_n \leq c \leq b_n, \forall n \in \mathbf{N}$
证明：
（i）由条件（1）可得：$a_1 \leq a_{n-1} \leq a_n \leq b_n \leq b_{n-1} \leq b_1$，序列 $\{a_n\}$ 递增且有上界 $b_1$，序列 $\{b_n\}$ 递减且有下界 $a_1$，因此 $\{a_n\}$ 和 $\{b_n\}$ 都是收敛序列。由条件（2）可得：$\lim a_n - \lim b_n = \lim (b_n - a_n) = 0$，这证明了序列 $\{a_n\}$ 和 $\{b_n\}$ 的极限相等：$\lim a_n = \lim b_n = c$。
（ii）因为 $c = \sup\{a_n\} = \inf \{b_n\}$，所以显然有 $a_n\leq c_n \leq b_n, \forall n \in \mathbf{N}$。如果实数 $c’$ 也满足条件 $a_n \leq c’ \leq b_n, \forall n \in \mathbf{N}$。那么上式中让 $n\to +\infty$ 取极限就得到 $c=\lim a_n \leq c’ \leq \lim b_n = c$（夹挤原理）。这证明了实数 $c$ 是唯一的。
注：闭区间套原理的各条件对保证结论成立非常重要。 （1）如果一列闭区间不是一个套在另一个之中，那么这列闭区间就可能不包含公共点。 （2）如果一列闭区间一个套在另一个之中，但这列闭区间的长度不收缩于0，那么属于这列闭区间的公共点就不止一个。 （3）如果把闭区间套换成了“开区间套”（仍然要求长度收缩于0），那么仍存在 $c=\lim a_n = \lim b_n$，但 $c$ 可以不属于各开区间 $(a_n, b_n)$。
定理 3：设序列 $\{x_n\}$ 收敛于 $a$，则它的任何⼦序列 $\{x_{n_k}\}$ 也都收敛于同⼀极限 $a$。
定理 4（波尔查诺-维尔斯特拉斯（Bolzano-Weierstrass）定理）：任意有界序列 $\{x_n\}$ 都具有收敛的子序列。
证明：序列 $\{x_n\}$ 有界，因而可设 $a \leq x_n \leq b, \forall n \in \mathbf{N}$。用中点 $\frac{a+b}{2}$ 把闭区间 $[a, b]$ 分为两个闭子区间：$[a, \frac{a+b}{2}]$ 和 $[\frac{a+b}{2}, b]$。这两个闭子区间至少有一个含有序列 $\{x_n\}$ 的无穷多项，我们把这一闭子区间记为 $[a_1, b_1]$，再将其对分成两个闭子区间 $[a_1, \frac{a_1+b_1}{2}]$ 和 $[\frac{a_1+b_1}{2}, b_1]$。在这两个闭子区间中，又至少有一个闭子区间含有序列 $\{x_n\}$ 的无穷多项，记为 $[a_2, b_2]$。用上述方式，我们取得一串闭区间：
\[[a_1, b_1] \supset [a_2, b_2] \supset \cdots \supset [a_k, b_k] \supset \cdots\]其中第 $k$ 个闭区间 $[a_k, b_k]$ 的长度为 $b_k - a_k=\frac{b-1}{2^k}$。根据闭区间套原理，可以断定存在一个实数 $c$ 满足 $c \in [a_k, b_k], \forall k \in \mathbf{N}$。
接下来来证明序列 $\{x_n\}$ 有⼀个⼦序列收敛于 $c$。⾸先，因为 $\{x_n\}$ 有⽆穷多项在 $[a_1, b_1]$ 之中， 我们可以选取其中某⼀项，把它记为 $x_{n_1}$。然后， 因为 $\{x_n\}$ 有⽆穷多项在 $[a_2, b_2]$ 之中，可以选取其中在 $\{x_n\}$ 之后的某⼀项，把它记为 $\{x_{n_2}\}$ 。 继续这样下去得到 $\{x_n\}$ 的⼀个⼦序列 $\{x_{n_k}\}$，满⾜ $x_{n_k} \in [a_k, b_k], \forall k \in N$。因为 $|x_{n_k} - c| \leq b_k - a_k = \frac{b-a}{2^k}, \forall n \in \mathbf{N}$，所以 $\lim x_{n_k} = c$。
定义：如果序列 $\{x_n\}$ 满足条件：对任意 $\epsilon > 0$，存在 $N \in \mathbf{N}$，使得当 $m, n > N$ 时，就有 $|x_m - x_n| < \epsilon$，那么就称这序列为基本序列（或者珂西序列）。
引理：基本序列 $\{x_n\}$ 是有界的。
证明： 对于 $\epsilon > 1$，存在 $N \in \mathbf{N}$，使得当 $m, n > N$ 时，就有 $|x_m - x_n| < 1$。于是，对于 $n > N$，我们有 $|x_n| \leq |x_n - x_{N+1}| + |x_{N+1}| < 1 + |x_{N+1}|$。
记 $K=\max\{|x_1|, |x_2|, \cdots, |x_N|, 1+|x_{N+1}|\}$，则有
\[|x_n| \leq K, \forall n \in \mathbf{N}\]定理 5（柯西收敛原理）：序列 $\{x_n\}$ 收敛的必要充分条件是：对任意 $\epsilon > 0$，存在 $N \in \mathbf{N}$，使得当 $m, n > N$ 时，就有 $|x_m - x_n| < \epsilon$。即 序列 $\{x_n\}$ 收敛 $\iff$ 序列 $\{x_n\}$ 是基本序列。
证明：
必要性：如果序列 $\{x_n\}$ 收敛于 $a$， 那么这序列中序号充分⼤的两项 $x_m$ 和 $x_n$ 都接近于 $a$，对任意 $\epsilon ＞ 0$， 存在 $N \in \mathbf{N}$， 使得当 $m, n ＞ N$ 时，有
\[|x_m - a| < \epsilon / 2, |x_n - a| < \epsilon / 2\]此时有
\[\begin{aligned} |x_m - x_n| &= |(x_m - a) - (x_n - a)| \\ &\leq |x_m-a| + |x_n + a| \\ &< \epsilon / 2 + \epsilon / 2 = \epsilon \end{aligned}\]充分性：因为基本序列是有界的，引用波尔查诺-维尔斯特拉斯定理，可以断定存在序列 $\{x_n\}$ 的收敛子序列 $\{x_{n_k}\}$，设 $x_{n_k} \to a~(k \to +\infty)$。
由基本序列定义可得，对任意 $\epsilon > 0$，存在 $N \in \mathbf{N}$，使得当 $m, n > N$ 时，就有 $|x_m - x_n| < \epsilon/2$。又，存在 $N_1 \in \mathbf{N}$，使得 $k > N_1$ 时有 $|a - x_{n_k}| < \epsilon / 2$。
取 $k > \max\{N, N_1\}$，对任意 $n > N$ 有 $|a-x_n| \leq |a - x_{n_k}| + |x_{n_k} - x_n| < \epsilon / 2 + \epsilon = \epsilon$。这就证明了 $\lim x_n = a$。
无穷大
定义：
- 设 $\{x_n\}$ 是实数序列，如果对任意正实数 $E$，存在自然数 $N$，使得当 $n > N$ 时，就有 $x_n > E$，那么我们就说序列 $\{x_n\}$ 发散于 $+\infty$，记为 $\lim x_n = + \infty$
- 设 $\{y_n\}$ 是实数序列，如果对任意正实数 $E$，存在自然数 $N$，使得当 $n > N$ 时，就有 $y_n < -E$，那么我们就说序列 $\{y_n\}$ 发散于 $-\infty$，记为 $\lim y_n = - \infty$
- 设 $\{z_n\}$ 是实数序列，如果序列 $\{|z_n|\}$ 发散于 $+\infty$，即 $\lim |z_n| = + \infty$，那么我们就称 $\{z_n\}$ 为无穷大序列，记为 $\lim z_n = \infty$
定理 1：单调序列必具有（有穷或无穷的）极限。
定理 3：如果 $\lim x_n = + \infty$（或 $-\infty$，或 $\infty$），那么对于 $\{x_n\}$ 的任意子序列 $\{x_{n_k}\}$，也有 $\lim x_{n_k} = + \infty$（或 $-\infty$，或 $\infty$）。
定理 5：实数序列最多只有一个极限。
函数的极限
定义：对于 $x_0 \in R$ 和 $\eta \in R，\eta > 0$，我们把
\[U(x_0, \eta) = (x_0 - \eta, x_0 + \eta) = \{x \in \mathbf{R}|~l|x-x_0| < \eta\}\]称为 $x_0$ 点的 $\eta$ 的邻域，而把
\[\check{U}(x_0, \eta) = (x_0 - \eta, x_0 + \eta) \backslash \{x_0\} =\{x \in \mathbf{R}| 0 < |x-x_0| < \eta\}\]称为 $x_0$ 点的去心 $\eta$ 的邻域。
对于 $H \in \mathbf{R}, H > 0$，把 $\check{U}(+\infty, H)= (H, +\infty) = \{x\in \mathbf{R} | x > H\}$ 称为 $+\infty$ 的去心 $H$ 领域，类似的 $\check{U}(-\infty, H)= (H, -\infty) = \{x\in \mathbf{R} | x < -H\}$ 称为 $-\infty$ 的去心 $H$ 领域。
关于函数的极限， 我们将介绍两种定义⽅式。第⼀种是海因（Heine）提出的序列式定义；第⼆种是柯西（Cauchy）提出的 $\epsilon-\delta$ 式定义。
函数极限的序列式定义
定义：设 $a, A \in \mathbf{\overline{R}}$，并设函数 $f(x)$ 在 $a$ 点的某个去心领域 $\check{U}(a)$ 上有定义。如果对于任何满足条件 $x_n \to a$ 的序列 $\{x_n\} \subset \check{U}(a)$，相应的函数值序列 $\{f(x_n)\}$都以 $A$ 为极限，那么我们就说当 $x\to a$ 时，函数 $f(x)$ 的极限为 $A$，记为 $\lim_{x \to a} f(x) = A$。还可以用类似的方式定义 $\lim_{x \to \infty} f(x) = A$。
定理 1：函数极限 $\lim_{x \to a} f(x)$ 是唯一的。
证明：对任意取定的满足条件 $x_n \neq a, x_n \to a$ 的序列 $\{x_n\}$，相应的函数值序列 $\{f(x_n)\}$ 的极限至多只能有一个（将函数极限转化为序列极限，从而直接应用序列的定理）。
定理 2（夹挤原理）：设 $f(x), g(x)$ 和 $h(x)$ 在 $a$ 的某个去心领域 $\check{U}(a)$ 上有定义，并且满足不等式 $f(x) \leq g(x) \leq h(x), \forall x \in \check{U}(a)$。如果 $\lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} h(x) = A$，那么 $\lim_{x\to a} g(x) = A$
证明：对任何满足条件 $x_n \to a$ 的序列 $\{x_n\} \subset \check{U}(a)$，我们有 $f(x_n) \leq g(x_n) \leq h(x_n)$ 和 $\lim f(x_n) = \lim h(x_n) = A$，因而 $\lim g(x_n) = A$（将函数极限转化为序列极限，从而直接应用序列的夹挤原理）。
定理 3：关于函数极限，有以下运算法则（成立条件是右端有意义）：
\[\begin{aligned} \lim_{x \to a} (f(x) \pm g(x)) &= \lim_{x \to a} f(x) \pm \lim_{x \to a} g(x) \\ \lim_{x \to a} (f(x)g(x)) &= \lim_{x \to a} f(x) \cdot \lim_{x \to a} g(x) \\ \lim_{x \to a} (\frac{g(x)}{f(x)}) &= \frac{\lim_{x \to a} g(x)}{\lim_{x \to a} f(x)} \end{aligned}\]证明：设函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在 $a$ 点的某个去心邻域 $\check{U}(a)$ 上有定义，并且 $\lim_{x\to a} f(x)=A, \lim_{x\to a} g(x)=B$。如果 $A+B$ 有意义，那么对于任何满足条件 $x_n \to a, \{x_n\} \subset \check{U}(a)$ 的序列 $\{x_n\}$ 都有
\[\lim (f(x_n) + g(x_n)) = \lim f(x_n) + \lim g(x_n) = A + B\]定理 4：设函数 $g$ 在 $b$ 点的某个去心邻域 $\check{U}(b)$ 上有定义，$\lim_{y \to b} g(y) = c$。又设函数 $f$ 在 $a$ 点的某个去心邻域 $\check{U}(a)$ 上有定义，$f$ 把 $\check{U}(a)$ 中的点映到 $\check{U}(b)$ 之中（即 $f(\check{U}(a)) \subset \check{U}(b)$），并且 $\lim_{x\to a}f(x) = b$，则有 $\lim_{x \to a} g(f(x)) = c$。
证明：对任何满足条件 $x_n \to a$ 的序列 $\{x_n\} \subset \check{U}(a)$，我们有 $\{f(x_n)\} \subset \check{U}(b)$ 和 $f(x_n) \to b$，因而 $\lim g(f(x_n)) = c$。这证明了 $\lim_{x \to a} g(f(x)) = c$。
函数极限的 $\epsilon-\delta$ 式定义
定义：设 $a, A \in \mathbf{R}$，并设函数 $f(x)$ 在 $a$ 点的某个去心邻域 $\check{U}(a, \eta)$ 上有定义。如果对任意 $\epsilon > 0$，存在 $\delta > 0$ 使得 $0 < |x-a| < \delta$，就有 $|f(x) -A| < \epsilon$，那么我们就说：$x\to a$ 时函数 $f(x)$ 的极限是 $A$，记为 $\lim_{x\to a} f(x) = A$。
引理：设 $a, A \in \mathbf{R}, \lim_{x\to a} f(x) = A$，则存在 $\eta > 0$，使得函数 $f$ 在 $\check{U}(a, \eta)$ 上有界。
证明：对于 $\epsilon = 1 > 0$，存在 $\eta > 0$，使得对于 $x \in \check{U}(a, \eta)$ 有 $|f(x) - A| < 1$。可得 $|f(x)| \leq |f(x) - A| + |A| < 1 + |A|$。
引理：设 $\lim_{x\to a}f(x) = A$，这里 $a, A \in \mathbf{R}, A \neq 0$。则存在 $\eta > 0$，使得对于 $x \in \check{U}(a, \eta)$ 有 $|f(x)| > |A|/2$。
证明：对于 $\epsilon = |A|/2 > 0$，存在 $\eta > 0$，使得对于 $x \in \check{U}(a, \eta)$ 有 $|f(x) - A| < |A|/2$。可得 $|f(x)| \geq |A| - |f(x) - A| > |A| - |A|/2 = |A|/2$。
定理 5：设 $a, A, B \in \mathbf{R}$，$\lim_{x\to a} f(x) = A, \lim_{x \to a} g(x) = B$，则：
\[\lim_{x\to a}(f(x) \pm g(x)) = A \pm B \\ \lim_{x\to a}(f(x) \cdot g(x)) = A \cdot B \\ \lim_{x \to a} 1/f(x) = 1 / A (A \neq 0)\]定理 6：设 $\lim_{x \to a} f(x) < \lim_{x \to a} g(x)$，则存在 $\delta > 0$，使得对 $x \in \check{U}(a, \delta)$ 有 $f(x) < g(x)$。
证明：设 $\lim_{x \to a} f(x) = A, \lim_{x \to a} g(x) = B, A < B$，则对 $\epsilon = (B-A)/2 > 0$，存在 $\delta_1, \delta_2 > 0$，使得：
\[0 < |x - a | < \delta_1 时，A - \epsilon < f(x) < A + \epsilon \\ 0 < |x - a | < \delta_2 时，B - \epsilon < g(x) < B + \epsilon\]记 $\delta = \min\{\delta_1, \delta_2\}$，则对于 $x \in \check{U}(a, \delta)$ 就有 $f(x) < A + \epsilon = B - \epsilon < g(x)$。
定理 7（关于函数极限的收敛原理）：设函数 $f(x)$ 在 $\check{U}(a, \eta)$ 上有定义，则使得有穷极限 $\lim_{x \to a} f(x)$ 存在的充分必要条件是：对任意 $\epsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，使得只要 $x$ 和 $x’$ 适合 $0 < |x - a | < \delta, 0 < |x’ - a| < \delta$，就有 $|f(x) - f’(x) | < \epsilon$。
证明：
必要性：设 $\lim_{x \to a} f(x) = A \in \mathbf{R}$。则对于任意 $\epsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，使得 $0 < |x-a| < \delta \implies |f(x) - A| < \epsilon/2$。则如果 $0 < |x-a| < \delta, 0 < |x’-a| < \delta$，就有 $|f(x) - f(x’)| \leq |f(x) - A| + |f’(x) - A| < \epsilon/2 + \epsilon/2 = \epsilon$。
充分性：设对任意 $\epsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，使得只要 $0 < |x-a| < \delta, 0 < |x’-a| < \delta$，就有 $|f(x) - f(x’)| < \epsilon$。我们来证明这时一定存在有穷极限 $\lim_{x \to a}f(x)$。设序列 $\{x_n\} \subset \check{U}(a, \eta)$ 满足条件 $x_n \to a$，则存在 $N \in \mathbf{N}$，使得 $n > N$ 时有 $0 < |x_n - a| < \delta$。于是，当 $m, n > N$时，就有 $|f(x_m) - f(x_n)| < \epsilon$。根据序列收敛原理可以断定 $f(\{x_n\})$ 收敛。
接下来证明，所有这样的序列 $f(\{x_n\})$ 收敛于同一极限 $A$。使用反证法，假设存在序列 $\{x’_n\}$ 和 $\{x_n’’\}$ 满足条件：
\[\{x_n'\}, \{x_n''\} \subset \check{U}(a, \eta)$ \\ x_n' \to a, x_n'' \to a \\ \lim f(x_n') = A', \lim f(x_n'') = A'', A' \neq A''\]那么我们可以定义一个序列 $\{x_n\}$ 如下：
\[x_n = \begin{cases} x_k' & \text{如果} n=2k-1, \\ x_k'' & \text{如果} n=2k. \end{cases}\]这序列 $\{x_n\} \subset \check{U}(a, \eta)$ 满足条件 $x_n \to a$，但 $\{f(x_n)\}$ 不收敛，与上面已证明的结果矛盾。因此所有这样的序列 $f(\{x_n\})$ 收敛于同一极限 $A$，即 $\lim_{x\to a} f(x) = A$
单侧极限
定理 1：设 $a \in \mathbf{R}$，并设函数 $f(x)$ 在 $a$ 点的去心邻域 $\check{U}(a, \eta)$ 上有定义，则极限 $\lim_{x\to a} f(x)$ 存在的充分必要条件是两个单侧极限存在并相等：
\[\lim_{x \to a-}f(x) = \lim_{x \to a+}f(x) = A\]当这条件满足时，我们有 $\lim_{x\to a} f(x) = A$。
定理 1’：设函数 $f(x)$ 在 $\check{U}(\infty, H)$ 上有定义，则极限 $\lim_{x\to \infty} f(x)$ 存在的充分必要条件是两个单侧极限存在并相等：
\[\lim_{x \to -\infty}f(x) = \lim_{x \to +\infty}f(x) = A\]当这条件满足时，我们有 $\lim_{x\to \infty} f(x) = A$。
定理 2（单调函数的单侧极限总是存在）：（1）设函数 $f(x)$ 在开区间 $(a-\eta, a)$ 上递增（递减），则
\[\lim_{x\to a-}f(x) = \sup_{x \in (a-\eta, a)} f(x) (递减：\inf_{x \in (a-\eta, a)} f(x))\]（2）设函数 $f(x)$ 在开区间 $(a, a+\eta)$ 上递增（递减），则
\[\lim_{x\to a+}f(x) = \inf_{x \in (a, a+\eta)} f(x) (递减：\sup_{x \in (a, a+\eta)} f(x))\]证明：如果 $\sup_{x\in (a-\eta, a)} f(x) = + \infty$，那么对任意 $E > 0$，存在 $x_E \in (a-\eta, a)$，使得 $f(x_E) > E$。
记 $\delta = a - x_E$，则对于 $a > x > a - \delta = x_E$，就有 $f(x) \geq f(x_E) > E$。这证明了
\[\lim_{x \to a-} f(x) = \sup_{x \in (a-\eta, a)}f(x) = +\infty\]如果 $\sup_{x \in (a-\eta, a)}f(x) = A < +\infty$，那么对任何 $\epsilon > 0$，有 $A - \epsilon < A$。根据上确界的定义，存在 $x_\epsilon \in (a-\eta, a)$，使得 $A - \epsilon < f(x_\epsilon) \leq A$。
记 $\delta = a - x_\epsilon$，则对于 $x\in (a-\delta, a)$ 有
\[a > x > a - \delta = x_\epsilon \\ A \geq f(x) \geq f(x_\epsilon) > A - \epsilon\]这证明了
\[\lim_{x \to a-} f(x) = \sup_{x \in (a-\eta, a)}f(x) = A\]