连续与间断
定义 1：设函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 点的邻域 $U(x_0, \eta)$ 上有定义。如果对任何满足条件 $x_n \to x_0$ 的序列 $\{x_n\} \subset U(x_0, \eta)$，都有 $\lim f(x_n) = f(x_0)$，那么我们就说函数 $f$ 在 $x_0$ 点连续，或者说 $x_0$ 点是函数 $f$ 的连续点。
定义 2：设函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 点的邻域 $U(x_0, \eta)$ 上有定义。如果对任意 $\epsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，使得只要 $|x - x_0| < \delta$，就有 $|f(x) - f(x_0)|< \epsilon$。那么我们就说函数 $f$ 在 $x_0$ 点连续，或者说 $x_0$ 点是函数 $f$ 的连续点。
定理 1：设函数 $f$ 在 $x_0$ 点连续，则存在 $\delta > 0$，使得函数 $f$ 在 $U(x_0,\delta)$ 上有界。
定理 2：设函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在 $x_0$ 点连续，则 (1) $f(x)\pm g(x)$ 在 $x_0$ 处连续；（2）$f(x)\cdot g(x)$ 在 $x_0$ 处连续；（3）$\frac{f(x)}{g(x)}$ 在使得 $g(x_0)\neq 0$ 的 $x_0$ 处连续；（4）$cg(x)$ 在 $x_0$ 点连续。
定理 4：设函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在 $x_0$ 点连续，如果 $f(x_0) < g(x_0)$，那么存在 $\delta > 0$，使得对于 $x \in U(x_0, \delta)$ 有 $f(x) < g(x)$。
定理 5（复合函数的连续性）：设函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 点连续，函数 $g(y)$ 在 $y_0=f(x_0)$ 点连续，那么复合函数 $g \circ f(x) = g(f(x))$ 在 $x_0$ 点连续。
定义：设函数 $f(x)$ 在 $(x_0 - \eta, x_0]$ 上有定义，如果 $\lim_{x\to x_0-}f(x) = f(x_0)$，那我们说函数 $f$ 在 $x_0$ 点左侧连续。类似的可定义右侧连续。引入记号 $f(x_0-) = \lim_{x\to x_0-}f(x), f(x_0+) = \lim_{x\to x_0+}f(x)$。
定理 6：设函数 $f(x)$ $U(x_0, \eta)$ 上有定义，则 $f(x)$ 在 $x_0$ 点连续点充分必要条件是它在这点左侧连续且右侧连续。
不连续存在两种情形：
- 情形 1：函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 点的两个单侧极限 $f(x_0-)$ 和 $f(x_0+)$ 都存在，但 $f(x_0-)\neq f(x_0+)$ 或 $f(x_0-)=f(x_0+) \neq f(x_0)$
- 情形 2：函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 点至少有一个单侧极限不存在
定义：函数 $f(x)$ 在 $(x_0 - \eta, x_0]$ 上有定义，在 $x_0$ 点不连续，如果是情形 1，我们就说 $x_0$ 是函数 $f$ 的第一类间断点；如果是情形 2，就说 $x_0$ 是函数 $f$ 的第二类间断点。
例子：
- 任何 $x\in \mathbf{R}$ 都是 Dirichlet 函数的第二类间断点。
- 所有的无理点都是 Riemann 函数的连续点，所有的有理点都是 Riemann 函数的第一类间断点。
闭区间上连续函数的重要性质
定义：如果函数 $f$ 在闭区间 $[a, b]$ 上有定义，在每一点 $x\in (a, b)$ 连续，在 $a$ 点右侧连续，在 $b $ 点左侧连续，我们就说函数在闭区间 $[a, b]$ 连续。
引理（闭区间完备）：设 $\{x_n\} \subset [a, b], x_n \to x_0$，则 $x_0 \in [a, b]$。
证明：从 $a \leq x_n \leq b, n=1,2,\cdots$，可得 $a\leq \lim_{x_n} = x_0 \leq b$。如果是开区间 $a < x_n < b, n=1,2,\cdots$，不能得出 $a < \lim_{x_n} = x_0 < b$，只能得出 $a\leq \lim_{x_n} = x_0 \leq b$，极限可能等于 $a$ 或者 $b$，但 $a$ 或者 $b$ 不在区间里。
定理 1：设函数 $f$ 在闭区间 $[a, b]$ 连续，如果 $f(a)$ 与 $f(b)$ 异号：$f(a)f(b) < 0$，那么必定存在一点 $c \in (a,b)$，使得 $f(c) = 0$。
Brouwer 不动点定理的特殊情形：把 $[a, b]$ 映入到 $[a, b]$ 之中的连续函数必定有不动点。
证明：记 $g(x) = f(x) - x$，则函数 $g(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 连续。由条件 $a \leq f(x) \leq b, \forall x \in [a, b]$，可得 $f(a) \geq a, f(b) \leq b$，即 $g(a) \geq 0, g(b) \leq 0$。
如果 $g(a) = 0$（或则 $g(b) = 0$），那么 $c=a$（或者 $c = b$）就满足要求：$g(c) = 0, f(c) = c$。
如果 $g(a) > 0 > g(b)$，那么根据定理 1，存在 $c\in (a, b)$，使得 $g(c) = 0, f(c) = c$。
定理 2（介值定理）：设函数 $f$ 在闭区间 $[a, b]$ 连续。如果在这闭区间的两端点的函数值 $f(a) = \alpha$ 与 $f(b) = \beta$ 不相等，那么在这两点之间的函数 $f$ 能够取得介于 $\alpha$ 与 $\beta$ 之间的任意值 $\gamma$。即如果 $f(a) < \gamma < f(b)$（或者 $f(a) > \gamma > f(b)$），那么存在 $c \in (a, b)$，使得 $f(c) = \gamma$。
定理 3：设函数 $f$ 在闭区间 $[a, b]$ 连续，则 $f$ 在 $[a, b]$ 上有界。
证明：反证法。假设 $f$ 在 $[a, b]$ 上无界。考察 $[a, b]$ 的两个闭子区间 $[a, \frac{a+b}{2}]$ 和 $[\frac{a+b}{2}, b]$。$f$ 至少在其中一个闭子区间无界。我们记这闭子区间为 $[a_1, b_1]$。然后以 $[a_1, b_1]$ 代替 $[a, b]$，重复可得 $[a_2, b_2]$，函数 $f$ 在这闭子区间上无界。由此得到一串闭区间：$[a, b] \supset [a_1, b_1] \supset \cdots \supset [a_n, b_n] \supset \cdots$，满足条件：
- $0 < b_n - a_n = \frac{b - a}{2^n}$
- 函数 $f$ 在 $[a_n, b_n]$ 上无界
闭区间套 $\{[a_n, b_n]\}$ 收缩于唯一的一点：$c=\lim a_n = \lim b_n \in [a, b]$。
因为函数 $f$ 在 $c$ 点连续，所以存在 $\eta > 0$ 使得 $f$ 在 $U(c, \eta)$ 上是有界的：
\[|f(x)| \leq K, \forall x \in U(c, \eta)\]又可取 $m$ 充分大，使得
\[|a_m - c| < \eta, |b_m -c | < \eta\]这是就有 $[a_m, b_m] \subset U(c, \eta)$，因而有 $|f(x)| \leq K, \forall x \in [a_m, b_m]$。但这与闭子区间 $[a_m, b_m]$ 的选取方式矛盾。以上证明函数 $f$ 在闭区间 $[a, b]$ 上应该是有界的。
如果函数 $f$ 在开区间 $(a, b)$ 连续，那么关于 $f$ 在 $(a, b)$ 上是否有界不能得出一般性结论。
定理 4（最大值与最小值定理）：设函数 $f$ 在闭区间 $[a, b]$ 连续，记 $M = \sup_{x \in [a,b]} f(x), m = \inf_{x \in [a,b]}f(x)$，则存在 $x’, x’’ \in [a,b]$，使得 $f(x’) = M, f(x’’) = m$。
证明：由定理 3 可知 $-\infty < m \leq M < +\infty$。根据上确界定义可得：对任意 $n \in \mathbf{N}$，必定存在 $x_n \in [a, b]$，使得
\[M - \frac{1}{n} < f(x_n) \leq M\]从有界序列 $\{x_n\} \subset [a, b]$ 之中，可以选取收敛的子序列 $\{x_{n_k}\}$，设 $x_{n_k} \to x’ \in [a, b]$。
由函数 $f$ 在 $x’$ 点的连续性可得 $f(x_{n_k}) \to f(x’)$。但我们有
\[M - \frac{1}{n_k} < f(x_{n_k}) \leq M\]在上面不等式中让 $k\to +\infty$ 取极限即得 $f(x’) = \lim f(x_{n_k}) = M$。
定义：设 $E$ 是 $\mathbf{R}$ 的一个子集，函数 $f$ 在 $E$ 上有定义。如果对任意 $\epsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，使得只要 $x_1, x_2 \in E, |x_1 - x_2| < \delta$，就有 $|f(x_1) - f(x_2)| < \epsilon$，那我们就说函数 $f$ 在集合 E 上是一致连续的。
定理 5（一致连续性定理）：如果函数 $f$ 在闭区间 $I=[a,b]$ 连续，那么它在 $I$ 上是一致连续的（闭区间是充分条件）。
证明：用反证法。假设函数 $f$ 在闭区间 $I$ 上连续而不一致连续，那么至少存在一个 $\epsilon > 0$，使得无论 $\delta > 0$ 多小，总有 $x’, x’’ \in I$，满足条件：
\[|x' - x''| < \delta, |f(x') - f(x'')| \geq \epsilon\]对这样的 $\epsilon$ 和 $\delta = 1/n$（$n=1, 2, \cdots$）存在 $x’_n, x_n’’ \in \mathbf{I}$，满足：
\[|x_n' - x_n''| < 1/n, |f(x_n') - f(x_n'')| \geq \epsilon\]因为 $\{x_n’\} \subset I$ 是有界序列，它具有收敛的子序列 $\{x_{n_k}’\}$：$x_{n_k}’ \to x_0 \in I$。
因为
\[\begin{aligned} |x_0 - x_{n_k}''| &\leq |x_0 - x_{n_k}'| + |x_{n_k}' - x_{n_k}''| \\ &< |x_0 - x_{n_k}'| + 1/n_k, \end{aligned}\]所以又有 $x_{n_k}’’ \to x_0$。又因为函数 $f$ 在 $x_0$ 点连续，所以 $\lim f(x_{n_k}’) = \lim f(x_{n_k}’’) = f(x_0)$。但这与 $|f(x_{n_k}’) - f(x_{n_k}’’)| \geq \epsilon$ 相矛盾。
定理 6：设 $E$ 是 $\mathbf{R}$ 的一个子集，函数 $f$ 在 $E$ 上有定义。则 $f$ 在 $E$ 上一致连续的充分必要条件是：对任何满足条件 $\lim(x_n - y_n) = 0$ 的序列 $\{x_n\}\subset E$ 和 $\{y_n\} \subset E$，都有 $\lim(f(x_n) - f(y_n)) = 0$
证明： 必要性：设 $f$ 在 $E$ 上一致连续，则对任何 $\epsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，使得只要 $x, y \in E, |x-y| < \delta$，就有 $|f(x) - f(y)| < \epsilon$。
如果 $\{x_n\} \subset E$ 和 $\{y_n\} \subset E$ 满足条件：$\lim(x_n - y_n) = 0$，那么存在 $N \in \mathbf{N}$，使得 $n > N$ 时有 $|x_n - y_n| < \delta$。也就有 $|f(x_n) - f(y_n)| < \epsilon$。因此 $\lim(f(x_n) - f(y_n)) = 0$。
充分性：反证法。假设 $f$ 在 $E$ 上不一致连续，则对某个 $\epsilon > 0$，无论 $\delta = 1/n$ 取多小，总存在 $x_n, y_n \in E$，使得 $|x_n - y_n| < 1/n, |f(x_n) - f(y_n)| \geq \epsilon$。序列 $\{x_n\}\subset E$ 和 $\{y_n\} \subset E$ 满足条件 $\lim(x_n - y_n) = 0$。但序列 $\{f(x_n) - f(y_n)\}$ 却不能收敛于0，与条件矛盾。
单调函数，反函数
引理（区间连通性）：集合 $J \in \mathbf{R}$ 是一个区间的充分必要条件为：两个实数 $\alpha, \beta \in J$，介于 $\alpha$ 和 $\beta$ 之间的任何实数 $\gamma$ 也一定属于 $J$。
定理 1：如果函数 $f$ 在区间 $I$ 上连续，那么 $J=f(I) = \{f(x) | x\in I\}$ 也是一个区间。定理 1 的逆命题一般来说不成立。
证明：介值定理。
定理 2：设函数 $f$ 在区间 $I$ 上单调。则 $f$ 在 $I$ 连续的充分必要条件为：$f(I) 也是一个区间。$
证明：
必要性：定理 1。
充分性：设 $f$ 在 $I$ 上递增并且 $f(I)$ 是一个区间。用反证法证明。假设 $f$ 在 $x_0 \in I$ 不连续，那么至少有以下两种情况之一：$f(x_0-) < f(x_0)$ 或 $f(x_0) < f(x_0+)$。对这两种情况，我们分别用 $(\lambda, \rho)$ 表示 $(f(x_0-), f(x_0))$ 或 $(f(x_0), f(x_0+))$。于是，在开区间 $(\lambda, \rho)$ 的两侧都有集合 $f(I)$ 中的点，但由于函数 $f$ 的单调性，任何 $\gamma \in (\lambda, \rho)$ 都不在集合 $f(I)$ 之中，因而 $f(I)$ 不能是一个区间（见引理：两侧的点是区间内，则两侧之间的点也在区间内）。这一矛盾说明 $f$ 必须在 $I$ 的每一点连续。
定义：定义函数 $g$，对任意 $y \in J$，函数值 $g(y)$ 规定为由关系 $f(x) = y$ 所决定的唯一的 $x\in I$。这样定义的函数 $g$ 称为函数 $f$ 的反函数，记为 $g=f^{-1}$。
定理 3：设函数 $f$ 在区间 $I$ 上严格单调并连续，则其反函数 $g=f^{-1}$ 在区间 $J=f(I)$ 上严格单调且连续。
指数函数与对数函数，初等函数连续性问题小结
接下来将通过极限定义正数的无理数指数方幂。
引理 1：设 $a\in \mathbf{R}, a > 1; p, q \in \mathbf{Q}, |p - q| < 1$。则有 $|a^p - a^q| \leq a^q(a-1)|p-q|$。
证明：因为有 $|a^p - a^q| = a^q|a^{p-q} - 1|$，因此只需证明 $|a^{p-q} - 1| \leq (a-1)|p - q|$。即证明 $|a^r - 1| \leq (a-1)|r|, \forall r \in \mathbf{Q}, |r| < 1$。
情形 1：$r = 0$。显然成立。
情形 2：$r = m/n \in (0, 1)$。利用几何平均数与算术平均数不等式可得：
\[\begin{aligned} a^r &= (a^m)^{1/n} = (a^m\cdot 1^{n-m})^{1/n} \\ &\leq \frac{ma+n-m}{n} = \frac{m}{n}(a-1) + 1 \\ &= (a-1)r + 1, \\ &0 < a^r - 1 \leq (a-1)r \end{aligned}\]情形 3：$r = -s \in(-1, 0)$，对这种情形，我们有：
\[\begin{aligned} |a^r - 1| &= |a^{-s} - 1| = 1 - a^{-s} \\ &= \frac{a^s - 1}{a^s} < a^s - 1 \\ &\leq (a-1)s = (a - 1)|r| \end{aligned}\]引理 2：设 $a \in \mathbf{R}, a > 0, x \in \mathbf{R}$，则有：
- 如果 $\{p_n\} \subset \mathbf{Q}, p_n \to x$，那么 $\{a^{p_n}\}$ 收敛
- 如果 $\{p_n\}, \{q_n\} \subset \mathbf{Q}, p_n \to x, q_n \to x$，那么 $\lim a^{p_n} = \lim a^{q_n}$
证明：
先对 $a > 1$的情形给出证明。
(1) 收敛序列 $\{p_n\}$ 是有界的，可设对于 $M \in \mathbf{N}$ 有 $p_n \leq M, \forall n \in \mathbf{N}$。收敛序列 $\{p_n\}$ 又是基本序列，对任意的 $\epsilon \in (0, 1)$，存在 $N \in \mathbf{N}$，使得 $m, n > N$ 时有 $|p_m - p_n| < \epsilon$。
于是，$m, n>N$ 时有：
\[\begin{aligned} |a^{p_m} - a^{p_n}| &\leq a^{p_n}(a-1)|p_m - p_n| \\ &\leq a^M(a-1)\epsilon \end{aligned}\]因此 $\{a^{p_n}\}$ 是基本序列，也就证明了 $\{a^{p_n}\}$ 收敛。
（2）收敛序列是有界的，可设对于 $M \in \mathbf{N}$ 有 $q_n \leq M, \forall n \in \mathbf{N}$。又因为 $\lim(p_n - q_n) = 0$，可设 $n > N$ 时，$|p_n - q_n| < \epsilon < 1$。于是 $n > N$ 时就有：
\[\begin{aligned} |a^{p_n} - a^{q_n}| &\leq a^{q_n}(a-1)|p_n - q_n| \\ &\leq a^M(a-1)\epsilon \end{aligned}\]可得 $\lim(a^{p_n} - a^{q_n}) = 0$。
继续考察 $0< a \leq 1$ 的情形，如果 $a=1$，那么 $\{a^{p_N}\}$ 和 $\{a^{q_n}\}$ 都是常数序列，因此结论（1）和（2）都成立。如果 $0 < a < 1$，那么 $1/a > 1$，因为 $a^{p_n} = \frac{1}{(\frac{1}{a})^{p_n}}, a^{q_n} = \frac{1}{(\frac{1}{a})^{q_n}}$，所以结论（1）和（2）也成立。
定义：设 $a\in\mathbf{R}, a > 0$，$x$ 是无理数，我们定义 $a^x = \lim a^{q_n}$，这里 $\{q_n\}$ 是收敛于 $x$ 的任意有理数序列。
定理 2：对于 $a \in \mathbf{R}, a > 0$ 和 $x, y \in \mathbf{R}$，我们有（1）$a^{x+y} = a^x \cdot a^y$；（2）$a>1,x<y \implies a^x < a^y, a < 1, x < y \implies a^x > a^y$
证明：
（2）对 $a > 1$ 的情形给出证明。设 $\{p_n\}, \{q_n\}$ 是有理数序列，$p_n \to x, q_n \to y$，因为 $x < y$，所以对充分大的 $n$ 就有 $p_n < q_n$。于是 $a^{p_n} < a^{q_n}, a^x = \lim a^{p_n} \leq \lim a^{q_n} = a^y$。
为了得到严格不等式，我们在 $x$ 与 $y$ 之间插入两个有理数 $r$ 和 $s$：$x < r < s < y, r,s \in \mathbf{Q}$。于是 $a^x \leq a^r < a^s \leq a^y$。
引理 3：设 $a\in \mathbf{R}, a > 1; x, y \in \mathbf{R}, |x - y| < 1$。则有 $|a^x - a^y| \leq a^y(a-1)|x-y|$。
证明：设 $\{p_n\}, \{q_n\}$ 是有理数序列，$p_n \to x, q_n \to y$，则对充分大的 $n$ 有 $|p_n - q_n| < 1$。于是有
\[|a^{p_n} - a^{q_n}| \leq a^{q_n}(a-1)|p_n - q_n|\]上式中让 $n \to +\infty$ 取极限可得：$|a^x - a^y| \leq a^y(a-1)|x-y|$。
定理 3：设 $a \in \mathbf{R}, a > 1$。则指数函数 $a^x$ 在 $\mathbf{R} = (-\infty, +\infty)$ 上有定义，严格递增且连续。
证明：严格递增见定理 2。这里证明连续性。设 $x_0 \in \mathbf{R}, \{x_n\} \subset \mathbf{R}, x_n \to x_0$。则对充分大的 $n$ 有 $|x_n - x_0| < 1$。于是有 $|a^{x_n} - a^{x_0}| \leq a^{x_0}(a - 1)|x_n - x_0|$。由此可得函数 $a^x$ 在 $x_0$ 点连续。
引理 4：设 $a \in \mathbf{R}, a > 1$，则有 (1) $\lim_{x\to +\infty} a^x= +\infty$ （2）$\lim_{x \to -\infty} a^x = 0$
证明：
（1）我们有不等式 $a^n = (1 + (a-1))^n\geq 1 + n(a-1), \forall n \in \mathbf{N}$。对任何 $E > 0$，可取 $\Delta = \frac{E}{a-1} + 1$，则当 $x > \Delta$ 时，就有
\[\begin{aligned} a^x &\geq a^{[x]} \geq 1 + [x](a-1) \\ &> 1 + \frac{E}{a-1}(a-1) > E \end{aligned}\]（2）$\lim_{x\to-\infty}a^x = \lim_{x\to-\infty}\frac{1}{a^{-x}} = \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{a^x} = 0$
定义：多项式函数，有理分式函数，三角函数，反三角函数，指数函数，对数函数等函数在他们有定义的范围内都是连续的。这些函数称为基本初等函数。由基本初等函数经过有限次四则运算和复合而成的函数称为初等函数。
定理 5：初等函数在其有定义的范围内都是连续的。
无穷小量（无穷大量）的比较，几个重要的极限
定义 1：设函数 $\alpha(x)$ 在 $a$ 点的某个去心邻域 $\check{U}(a)$ 上有定义，如果 $\lim_{x\to a}\alpha(x) = 0$。那么就说 $\alpha(x)$ 是 $x \to a$时的无穷小量。
定义 2：设函数 $A(x)$ 在 $a$ 点的某个去心邻域 $\check{U}(a)$ 上有定义，如果 $\lim_{x\to a}A(x) = \infty$。那么就说 $A(x)$ 是 $x \to a$时的无穷大量。
定义 3：设函数 $\phi(x)$ 和 $\psi(x)$ 在 $a$ 点的某个去心邻域 $\check{U}(a)$ 上有定义，并设在 $\check{U}(a)$ 上 $\phi(x) \neq 0$。我们分别用记号 “$O$”，“$o$” 和 “$\sim$” 表示比值 $\frac{\psi(x)}{\phi(x)}$ 在 $a$ 点邻近的几种状况：
（1）$\psi(x) = O(\phi(x))$ 表示 $\frac{\psi(x)}{\phi(x)}$ 是 $x \to a$ 时的有界变量（即 $\frac{\psi(x)}{\phi(x)}$ 在 $a$ 点的某个去心邻域上上有界的）；
（2）$\psi(x) = o(\phi(x))$ 表示 $\frac{\psi(x)}{\phi(x)}$ 是 $x \to a$ 时的无穷小量（即 $\lim_{x\to a}\frac{\psi(x)}{\phi(x)} = 0$）；
（3）$\psi(x) = \sim\phi(x)$ 表示 $\lim_{x\to a}\frac{\psi(x)}{\phi(x)} = 1$。
记号 $\psi(x) = O(1) ~ (x \to a)$ 表示 $\psi(x)$ 在 $a$ 点的某个去心邻域上有界；而记号 $\omega(x) = o(1) ~ (x \to a)$ 表示 $\lim_{x\to a} \omega(x) = 0$。
设 $\phi(x)$ 和 $\psi(x)$ 都是无穷小量（无穷大量），如果 $\psi(x)=o(\phi(x))$，那么就说 $\psi(x)$ 是比 $\phi(x)$ 更高阶的无穷小（更低阶的无穷大）。如果 $\psi(x)=\sim\phi(x)$，那么就说 $\psi(x)$ 是与 $\phi(x)$ 等价的无穷小（等价的无穷大）。
定理 1：设 $\phi(x)$ 和 $\psi(x)$ 在 $a$ 点的某个去心邻域 $\check{U}(a)$ 上有定义，$\phi(x) \neq 0$。则有 $\psi(x)\sim \phi(x) \implies \psi(x) = \phi(x) + o(\phi(x))$。
定理 2：设 $\phi(x)$ 在 $a$ 点的某一去心邻域上有定义且不等于 $0$，则有
（1）$o(\phi(x)) = O(\phi(x))$
（2）$O(\phi(x)) + O(\phi(x)) = O(\phi(x))$
（3）$o(\phi(x)) + o(\phi(x)) = o(\phi(x))$
（4）$o(\phi(x))O(1) = o(\phi(x)), o(1)O(\phi(x)) = o(\phi(x))$
定理 3：对于极限过程 $x \to 0$，我们有：
（1）$\sin x = x + o(x), \tan x = x + o(x)$
（2）$\cos x = 1 - \frac{1}{2}x^2 + o(x^2)$
（3）$e^x = 1 + x + o(x)$
（4）$\ln (1+x) = x + o(x)$
（5）$(1+x)^\mu = 1 + \mu x + o(x)$
定理 4：如果 $x \to a$ 时，$\psi(x)\sim \phi(x)$，那么有：
（1）$\lim_{x\to a}\psi(x)f(x) = \lim_{x \to a}\phi(x)f(x)$
（2）$\lim_{x\to a}\frac{\psi(x)f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a}\frac{\phi(x)f(x)}{g(x)}$
（3）$\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{\psi(x)g(x)} = \lim_{x \to a}\frac{f(x)}{\phi(x)g(x)}$
